¡Atención, éste es un post con referencias matemáticas! [1]
Huya, prevenido lector de letras. Huya y avergüéncese.
Hace mil años unos compañeros y yo perdimos algunas horas de nuestro tiempo en darle vueltas a un problema estadístico sencillo pero que chocaba un poco con nuestro sentido común. Verán, el problema se plantea como sigue:
Rafael, mi lector ficticio de referencia, acude a un programa televisivo donde tiene que elegir una caja de tres que hay. Dos de ellas están vacías pero la tercera contiene un premio, un cheque regalo por un millón de euros (o, equivalentemente, una cita conmigo con todos los gastos pagados), que es el objetivo obvio de Rafael.
El presentador, sonriente, es el Diablo, y Rafa se come los nudillos de puro nerviosismo pensando, sobre todo, en su madre. Él sabe que la probabilidad de ganar el premio es un tercio, así que es alta pero insuficiente, por lo que hiperventila y suda como un lector de revistas de peluquería.

Rafael elige entonces una caja. Tiembla como un flan y le han elegido una ropa espantosa para vestir pero elige una caja. Es un héroe.
El presentador entonces lo mira, mira a la cámara, sonríe mostrando sus colmillos de depredador y, de las dos cajas restantes, elige una, la abre... ¡Y está vacía!
Rafael, que no ha asistido a ningún curso de probabilidad y sigue sumido en su taquicardia, no sabe qué significa ese gesto. Peor aún, cree que sus probabilidades de ganar han mejorado drásticamente:
"Si antes que había tres cajas la probabilidad de ganar era de un tercio, como ahora sólo hay dos cajas, la probabilidad de acertar será de un medio."El Diablo entonces ofrece a Rafael la posibilidad de cambiar su elección. Nuestro lector, pillado por sorpresa, siente cómo se le acelera aún más el pulso. Su camisa parece el Niágara, su pequeño tic infantil (rascarse la oreja, la nariz, la rodilla derecha y vuelta a empezar) se asoma a la puerta de su mismidad, su vejiga le envía señales claras de rebelión...
"Como la probabilidad de acertar es la misma cambie o no cambie, lo mejor será que siga con mi elección inicial: ¡Diez mil anuncios del Detergente Colón no pueden estar equivocados!"La cuestión problemática de este asunto es que, matemáticamente hablando y si no hay nada raro detrás, la probabilidad de que Rafael acertase con su caja inicial sigue siendo de un tercio y no ha subido a un medio como él cree. Al abrir la otra caja, vacía, su probabilidad ha pasado sólo a la caja no elegida restante, de modo que la probabilidad de que esté el premio en ésta es ahora de dos tercios.
Es decir, que
la caja que no hemos elegido de inicio tiene el doble de posibilidades de contener el dinero o ese vale-para-una-cita-con-este-atractivo-bloguero. Rafael, que no sabe nada de matemáticas pero sí de detergentes, decide no cambiar de caja y, en dos de cada tres universos, perderá por haber leído en diagonal este post y llorará como la nena que es, por supuesto.
Quizás hasta se haga pipí encima.
...
Ahora bien, ¿a qué me refiero con eso de
"no hay nada raro detrás"? [2]
Verá, lector genérico, si Rafael ve regularmente este concurso y sabe que el presentador siempre procede de la misma manera entonces puede estar tranquilo: el colmillo afilado y la sonrisa son impostados, es mejor cambiar de caja y apostar por los conocimientos de matemáticas del Menda Lerenda. Ahora bien, si el Diablo sólo ofrece el cambio de caja en ciertas ocasiones y ya sabe que jamás ha dado un premio entonces puede sospechar que sólo lo hace cuando el concursante ha elegido la caja correcta desde el inicio, en cuyo caso es mejor aplicar el Paradigma del Detergente y no cambiar jamás de producto por mucho que te digan que el otro lava más blanco.
Obviamente, si el presentador es realmente bueno en su trabajo, a veces permitirá que los concursantes cambien de caja y ganen. En caso sontrario se le verá el plumero y los espectadores y los anunciantes se irán de parranda a otra cadena.
Ejercicio práctico:Vean cualquier concurso sencillo como el planteado y calculen las probabilidades de victoria del concursante [3]. Si lo observado se ajusta a lo calculado es que el concurso es justo. Si los concursantes ganan menos de lo que deberían es que el Diablo es un gran profesional al que conviene tener en nuestra cadena. Si, por contra, los concursantes ganan más de lo que deben entonces es probable que la productora del programa odie al patrocinador, que el Diablo negocie en petit comité con los concursantes en su camerino o bien que la audiencia sea demasiado baja y haya que subirla como sea.
Personalmente, en el concurso de las cajas, yo mantendría a los concursantes ganando una de cada cuatro o cinco veces. Algún teórico de la conspiración pensaría que, efectivamente, soy el Diablo, pero no podría argumentarlo matemáticamente hasta que no hubiesen pasado unos cientos de programas.
Mis patrocinadores me amarían con locura...
Y alguna chica en los camerinos, también.
Por si hay algún peluche entre mis lectores, aclaro la solución:
1) Si elige siempre la caja no elegida de inicio, entonces gana el 67% de las veces.
2) Si mantiene la elección inicial, entonces gana el 33% de las veces.
3) Si se la juega a cara o cruz, sin pensar en nada, en ese caso acierta el 50% de las veces.
Por lo que lo óptimo es, si el juego es limpio, cambiar de elección.[1] Este problema que planteo es
muy clásico, así que no me extrañaría nada que lo conociera la mayoría de mis lectores. Mis disculpas de antemano por ello.
Gracias a Alfredo por el enlace.[2] Estoy suponiendo en todo momento que no hay ningún gnomo mágico que haga trampas con el contenido de las cajas: la única posibilidad para el mal la ostenta el presentador, y sólo mediante los ardides comentados en este texto.
[3] ¿Recuerdan el baile que se traía con las tarjetitas Mayra Gómez Kemp en el primigenio 1, 2, 3? Pues ya saben... Si iba pillada de tiempo y ofrecía cambiar, malo. Si había tiempo de sobra, adelante. Lástima que no tuviera internet hace treinta años.Etiquetas: ciencia, estadísticas, rollo