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Miscelánea.

Wednesday, December 23, 2009

Paradojas Estadísticas

¡Atención, éste es un post con referencias matemáticas! [1]
Huya, prevenido lector de letras. Huya y avergüéncese.


Hace mil años unos compañeros y yo perdimos algunas horas de nuestro tiempo en darle vueltas a un problema estadístico sencillo pero que chocaba un poco con nuestro sentido común. Verán, el problema se plantea como sigue:

Rafael, mi lector ficticio de referencia, acude a un programa televisivo donde tiene que elegir una caja de tres que hay. Dos de ellas están vacías pero la tercera contiene un premio, un cheque regalo por un millón de euros (o, equivalentemente, una cita conmigo con todos los gastos pagados), que es el objetivo obvio de Rafael.

El presentador, sonriente, es el Diablo, y Rafa se come los nudillos de puro nerviosismo pensando, sobre todo, en su madre. Él sabe que la probabilidad de ganar el premio es un tercio, así que es alta pero insuficiente, por lo que hiperventila y suda como un lector de revistas de peluquería.



Rafael elige entonces una caja. Tiembla como un flan y le han elegido una ropa espantosa para vestir pero elige una caja. Es un héroe.

El presentador entonces lo mira, mira a la cámara, sonríe mostrando sus colmillos de depredador y, de las dos cajas restantes, elige una, la abre... ¡Y está vacía!

Rafael, que no ha asistido a ningún curso de probabilidad y sigue sumido en su taquicardia, no sabe qué significa ese gesto. Peor aún, cree que sus probabilidades de ganar han mejorado drásticamente: "Si antes que había tres cajas la probabilidad de ganar era de un tercio, como ahora sólo hay dos cajas, la probabilidad de acertar será de un medio."

El Diablo entonces ofrece a Rafael la posibilidad de cambiar su elección. Nuestro lector, pillado por sorpresa, siente cómo se le acelera aún más el pulso. Su camisa parece el Niágara, su pequeño tic infantil (rascarse la oreja, la nariz, la rodilla derecha y vuelta a empezar) se asoma a la puerta de su mismidad, su vejiga le envía señales claras de rebelión... "Como la probabilidad de acertar es la misma cambie o no cambie, lo mejor será que siga con mi elección inicial: ¡Diez mil anuncios del Detergente Colón no pueden estar equivocados!"

La cuestión problemática de este asunto es que, matemáticamente hablando y si no hay nada raro detrás, la probabilidad de que Rafael acertase con su caja inicial sigue siendo de un tercio y no ha subido a un medio como él cree. Al abrir la otra caja, vacía, su probabilidad ha pasado sólo a la caja no elegida restante, de modo que la probabilidad de que esté el premio en ésta es ahora de dos tercios.

Es decir, que la caja que no hemos elegido de inicio tiene el doble de posibilidades de contener el dinero o ese vale-para-una-cita-con-este-atractivo-bloguero. Rafael, que no sabe nada de matemáticas pero sí de detergentes, decide no cambiar de caja y, en dos de cada tres universos, perderá por haber leído en diagonal este post y llorará como la nena que es, por supuesto.

Quizás hasta se haga pipí encima.

...

Ahora bien, ¿a qué me refiero con eso de "no hay nada raro detrás"? [2]

Verá, lector genérico, si Rafael ve regularmente este concurso y sabe que el presentador siempre procede de la misma manera entonces puede estar tranquilo: el colmillo afilado y la sonrisa son impostados, es mejor cambiar de caja y apostar por los conocimientos de matemáticas del Menda Lerenda. Ahora bien, si el Diablo sólo ofrece el cambio de caja en ciertas ocasiones y ya sabe que jamás ha dado un premio entonces puede sospechar que sólo lo hace cuando el concursante ha elegido la caja correcta desde el inicio, en cuyo caso es mejor aplicar el Paradigma del Detergente y no cambiar jamás de producto por mucho que te digan que el otro lava más blanco.

Obviamente, si el presentador es realmente bueno en su trabajo, a veces permitirá que los concursantes cambien de caja y ganen. En caso sontrario se le verá el plumero y los espectadores y los anunciantes se irán de parranda a otra cadena.


Ejercicio práctico:

Vean cualquier concurso sencillo como el planteado y calculen las probabilidades de victoria del concursante [3]. Si lo observado se ajusta a lo calculado es que el concurso es justo. Si los concursantes ganan menos de lo que deberían es que el Diablo es un gran profesional al que conviene tener en nuestra cadena. Si, por contra, los concursantes ganan más de lo que deben entonces es probable que la productora del programa odie al patrocinador, que el Diablo negocie en petit comité con los concursantes en su camerino o bien que la audiencia sea demasiado baja y haya que subirla como sea.

Personalmente, en el concurso de las cajas, yo mantendría a los concursantes ganando una de cada cuatro o cinco veces. Algún teórico de la conspiración pensaría que, efectivamente, soy el Diablo, pero no podría argumentarlo matemáticamente hasta que no hubiesen pasado unos cientos de programas.

Mis patrocinadores me amarían con locura...

Y alguna chica en los camerinos, también.



Por si hay algún peluche entre mis lectores, aclaro la solución:

1) Si elige siempre la caja no elegida de inicio, entonces gana el 67% de las veces.
2) Si mantiene la elección inicial, entonces gana el 33% de las veces.
3) Si se la juega a cara o cruz, sin pensar en nada, en ese caso acierta el 50% de las veces.

Por lo que lo óptimo es, si el juego es limpio, cambiar de elección.


[1] Este problema que planteo es muy clásico, así que no me extrañaría nada que lo conociera la mayoría de mis lectores. Mis disculpas de antemano por ello. Gracias a Alfredo por el enlace.
[2] Estoy suponiendo en todo momento que no hay ningún gnomo mágico que haga trampas con el contenido de las cajas: la única posibilidad para el mal la ostenta el presentador, y sólo mediante los ardides comentados en este texto.
[3] ¿Recuerdan el baile que se traía con las tarjetitas Mayra Gómez Kemp en el primigenio 1, 2, 3? Pues ya saben... Si iba pillada de tiempo y ofrecía cambiar, malo. Si había tiempo de sobra, adelante. Lástima que no tuviera internet hace treinta años.

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25 Comments:

At 23 December, 2009 12:48 , Blogger Be said...

This comment has been removed by the author.

 
At 23 December, 2009 12:49 , Blogger Be said...

Pero, el propio hecho de que te pregunten si quieres cambiar de caja ¿no supone hacer una nueva elección, esta vez entre dos cajas, con las probabilidades al 50%? ¿La probabilidad de acertar dependería de alguna manera de lo elegido en la fase anterior? ¿Es que esas cosas se acumulan?

 
At 23 December, 2009 13:06 , Blogger Efe Morningstar said...

Exactamente ése era el punto de discusión y la paradoja que nos planteábamos.

El problema reside en una confusión: una cosa es la probabilidad de que el premio esté en una u otra caja y otra muy diferente la probabilidad de que acertásemos con la caja buena si llegásemos a mitad de programa y eligiésemos entre dos cajas.

Aunque una caja tuviera más probabilidad de contener el premio que la otra, como no tenemos ni idea de lo que ha ocurrido, en promedio elegiríamos tanto una como otra y acertaríamos la mitad de las veces.

El concursante, sin embargo, "sabe" que una caja es más probable que otra, por lo que tiene tres opciones:

1) Me hace caso y elige siempre la caja no elegida de inicio, entonces gana el 67% de las veces.
2) No me hace caso y se queda siempre con la primera caja, entonces gana el 33% de las veces.
3) Se la juega a cara o cruz, sin pensar en nada, en ese caso acierta el 50% de las veces.

A mis alumnos de segundo de bachillerato les encantaba este problema.

/me silba.

 
At 23 December, 2009 13:41 , Anonymous Alfredo Amatriain said...

Yo solo pasaba por aqui :)

Efectivamente, es una aparente paradoja muy vieja, de 1975, concretamente. Ahora que lo pienso, tan vieja como yo... pues eso, que es una paradoja juvenil y no exenta de atractivo, igualita igualita que yo.

El articulo de la wiki lo explica muy bien, con dibujitos y tal:

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

La historieta de donde viene el nombre, lo del concurso y tal, tambien tiene su gracia

 
At 23 December, 2009 13:56 , Blogger Efe Morningstar said...

Alfredo, gracias por el enlace. No conocía el programa. Cuando me comentaron el problema fue de tercera mano y nunca lo investigué más allá de la resolución. Mola.

Confieso, por cierto, que hice un programa (¡¡en Fortram!!) que simulaba las elecciones para comprobar si las probabilidades eran correctas y no estábamos olvidando algo. Pero nada, hice jugar unos millones de veces a mi concursante ficticio y todo iba tal cual debe.

Confieso también que según escribía el texto lo iba viendo más claro. Escribir es útil, te hace organizar tus ideas, quién lo iba a decir.

Ejhem.

 
At 23 December, 2009 15:43 , Blogger Kalitro said...

Lo he entendido con la wikipedia.

Qué bien, ahora sé algo de estadística que posiblemente nunca utilizaré.

 
At 23 December, 2009 16:22 , Anonymous Webber said...

Joder, este problema lo traje yo de mi periplo americano! lo encontre en un scientific american muy majo, el escritor de juegos matematicos habia recibido cartas de muchos catedraticos quejandose de que el tio era un paquete!

 
At 23 December, 2009 16:41 , Blogger molinos said...

ohhh..me has utilizado de cobaya para una fresa sin avisarme previamente y hacerme firmar mil formularios de cesión de derechos.

...mmmm...no sé si es peor eso o que me haya aburrido a la mitad.

 
At 23 December, 2009 16:46 , Blogger Noodle said...

Jo, todo el mundo parece entenderlo perfectamente y yo no tengo ni pajolera idea de lo que ha pasado con el señor este al final. ¿Te lo llevas a cenar o no?

 
At 23 December, 2009 17:34 , Blogger Efe Morningstar said...

Kali, eres un traidor, quieres más a la wikipedia que a mí.

Webber, ¿recuerdas aquellos viejos tiempos...? Ah, éramos tan jóvenes, teníamos tanto pelo... Bueno, mucho más tampoco.

Molinos, no sé de qué hablas, niego toda evidencia.

Noodle, no has entendido nada: ese señor ES la cena.

 
At 23 December, 2009 17:52 , Blogger Irene said...

Peluche?
Presente!
Gracias por la aclaración, ejem, soy muuuuuy de letras :)

 
At 23 December, 2009 18:34 , Anonymous Webber said...

Ejem, yo si que lo recuerdo hombre melon, pero tu no, que redescubres las cosas sin piedad!

Pelo poco, claro, brazos tambien, dos.

 
At 23 December, 2009 19:20 , Blogger javi said...

Fortran. Si es posterior al 77 mereces morir.

Por otro lado es una hermosa fresa, aunque ya clásica pardiez. Se merece usted que le llamen Sireno y cosas peores.

 
At 23 December, 2009 21:54 , Blogger Efe Morningstar said...

Irene, de nada. Ya sabía yo que alguien se iba a aprovechar del resumen del resumen.

Webber, ya sabes que tengo una memoria muy especial, por decir algo. Y dos brazos.

Creo que eso último es importante aclararlo.

Javi, Fortran, cierto. Y no, no es posterior, jamás llegué a disfrutar de las delicias del Fortran 90. Seguramente porque salió cinco o diez años después de ese engañoso 90. Y yo para entonces ya estaba en otros menesteres menos científicos y más parasitarios.

 
At 23 December, 2009 23:52 , Blogger Deimos said...

Pues yo tambien lo he entendido gracias a los dibujitos de la wiki, y eso que no se me dan mal los numeros.

 
At 23 December, 2009 23:58 , Anonymous Zulua said...

Visto todo desde este punto de vista, todo parece mucho más facil ¡Y yo que decía que la estadística solo era un montón de cifras sin sentido! (sí, er... yo también fui de letras XD)

Pero, a todo esto, supongo que como has dicho, en el momento en que se hacen algunas triquiñuelas, toda la estadística se va a tomar por viento :/

A todo esto, feliz navidad a todos!

Y sobretodo a ti, Efe, que te admiro desde la sombra! ò_ó

 
At 24 December, 2009 00:22 , Blogger Efe Morningstar said...

Deimos, voy a mataros a todos.

Zulua, mujer, las matemáticas son divertidas si te lo tomas como lo que son: un juego de lógica. Los números no son imprescindibles siempre.

A todo esto, eso de admirar en la sombra está muy bien, pero ya podrías mandarme un regalo de reyes o algo así.

¡Cutres, más que cutres!

 
At 24 December, 2009 05:59 , Anonymous Zulua said...

Venga, estoy esperando tu dirección, ya lo tengo preparado! :D

 
At 24 December, 2009 10:16 , Blogger ca_in said...

Pues el concurso televisivo original ese es mucho mejor que tu planteamiento. ¡La probabilidad de ganar era del 67% desde el principio! Y tener como premio de consolación un coche tampoco está mal: lo vendes en ebay y sacas para comprarte una cabra.

 
At 24 December, 2009 10:36 , Blogger molinos said...

Efe...¿ una admiradora en la sombra? Yo no digo nada.

Zulua, no le admires así, tienes que correr a conocerle. Tiene un atractivo misterioso que te dejará anonadada.

 
At 24 December, 2009 10:41 , Blogger Efe Morningstar said...

Zulua, no me fío nada, seguro que me mandas una caja llena de maldades o algo igual de mítico. Y a pagar contra reembolso.

Caín, no quiero saber qué haces tú con las cabras, pero los seres humanos de verdad preferiríamos el coche. Mmm, debes de ser un bot.

Molinos, déjate de milongas. Lo importante es saber qué sombra es esa, dónde está y comprar una red.

 
At 24 December, 2009 10:58 , Blogger ca_in said...

¿Coche? :(===@
No es que tenga interés en las cabras, es que en comparación con el coche me parecen el premio gordo del concurso.

 
At 24 December, 2009 12:00 , Blogger Deimos said...

Oh, oh, otro dia podrias iluminarnos acerca de la probabilidad estadistica de sacar seises seguidos en un dado, que hay quien dice que cada vez es 1/6 y quien dice que se acumula.

 
At 24 December, 2009 12:49 , Blogger Efe Morningstar said...

Caín, vendiendo un coche puedes comprar muchas cabras. Hazme caso, confía en mí. Mira la luz brillante que muevo delante de tus ojos. Deja la mente en blanco.

El coche es mejor que la cabra. Recuerda.

Deimos, no importa que hayas sacado un millón de seises seguidos. En la siguiente tirada la probabilidad de que salga un seis sigue siendo de un sexto.

Si no está el dado cargado o roto, que yo empezaría a sospechar, claro.

¡Impepinable!

 
At 24 December, 2009 15:30 , Anonymous Ro said...

Curioso post, me ha gustado mucho. Los de ciencias agradecemos cosas de este tipo de vez en cuando :-P
Feliz navidad!

 

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