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Miscelánea.

Wednesday, November 17, 2010

Matemática Minimal (1)

En estas últimas semanas he colado un par de expresiones trigonométricas en sendas entradas que han hecho que más de uno se ponga azul. Como somos gente humilde, voy a explicar de forma sencilla [1] de dónde salen. Para ello voy a tener que explicar antes algunas cosas más... Agárrense a algo.







[1] Léase heurística, la palabra que usan los científicos como sinónimo encubierto de "cutre" o de "me lo dijo un gnomo".

PS: He cerrado los comentarios. Dar vueltas en círculos sólo es divertido hasta que te mareas y vomitas.

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45 Comments:

At 17 November, 2010 08:39 , Anonymous Silf said...

Ya podrían haberme dado truquitos de estos en la ESO, me hubiesen venido de perlas. Aunque ahora para la universidad tampoco le voy a hacer ascos, que nunca vienen mal cosas de estas.
¡¡Me inscribo en el curso!!

 
At 17 November, 2010 09:25 , Blogger Patts said...

me duele el cerebro

 
At 17 November, 2010 09:33 , Blogger Goethita said...

Ala!! que chulo!! este tipo de cosas me chiflan..

Bien, efe, bien...

 
At 17 November, 2010 10:20 , Blogger Rune said...

Iba a decirte que si me hubieran explicado las matemáticas así tal vez las habría entendido, pero según iba bajando he visto que no. Bueno! algunas cosas sí, pero no todas ¬¬ Maldición!

Muy bien explicado, muy bonitos los dibujos. Espera, ¿te estoy haciendo la pelota otra vez? Ponte ya a hacer entradas de reseñas, que pueda criticarte :)

 
At 17 November, 2010 10:30 , Blogger Efe Morningstar said...

Silf, usar esto en la ESO es como matar moscas a cañonazos. En primero de carrera, sin embargo, quizás...

Patts, no seas quejica, si es súper fácil de la muerte.

Goe, pero bueno, ¿tú de dónde has salido?

Rune, ¡JA!, has vuesto a hacerme la pelota again. Ya no es cada mes sino cada semana, ¡SUFRE!

 
At 17 November, 2010 10:52 , Blogger Speedygirl said...

Goethita, ¿Que te chiflan estas cosas? Digo lo mismo que Efe, ¿tú de dónde has salido? XDDDDDDD

 
At 17 November, 2010 11:06 , Blogger Inés said...

¡¡¡Taylor!!!

Taylor es tu amigo. Taylor es tu amigo. Taylor es tu amigo...

PS: Aunque en realidad a mí me costó un hermosérrimo suspenso en primero. Ejhem.

 
At 17 November, 2010 11:19 , Anonymous Anonymous said...

Si x es infinitamente pequeño 1/(1-x)=1, no 1+x, y la otra expresión con la raíz también es 1. Vaya cómo te complicas... jajaja :P

 
At 17 November, 2010 12:07 , Blogger Gallinica said...

Esto me recuerda a cuando era joven y utilizaba las neuronas, sniff, qué tiempos.... Ahora utilizo el cerebro de forma global apreciando más (o no) los monitos. ¿Suena creíble como excusa?

 
At 17 November, 2010 12:21 , Blogger Inés said...

Anónimo, no. Si x es infinitamente pequeño, entonces 1+x=1. Igual que 0.999...=1

Pero la clave es "infinitamente".

 
At 17 November, 2010 12:30 , Anonymous Anonymous said...

Inés, si x es infinitamente pequeño en 1/(1-x), 1-x es 1, 1/1=1.
En fin, un saludo.

 
At 17 November, 2010 14:00 , Blogger Cattz said...

Voy a ir a lo importante: ¿por qué la letra va encogiendo según avanzamos en la entrada? Preciosa la de la primera parte, por cierto, muy legible.

 
At 17 November, 2010 14:23 , Blogger breadbimbo said...

Belén E. no sabe hacer estas cosas y mira dónde ha llegado y lo que cobra.

Algo falla.

Quizás cuando la capacidad mental es infinitamente pequeña (como la x antes), la capacidad para generar dinero se vueve inversamente exponencial.

 
At 17 November, 2010 14:59 , Blogger javi said...

El desarrollo en serie de potencias en el origen se llamaba McLaurin, ¿no? Pero el acaparador de Taylor siempre se lleva el merito.

Por otra parte, los desarrollos no lineales, con potencias 2 y 3 especialmente, tambien resultan muy utiles aunque el termino sea muy pequeño, al menos en teleco. La de veces que he calculado armonicos e intermodulaciones asi...

Anonimo, fijate que dice infinitamente pequeño, pero no dice cero que seria el valor en el limite: x sigue teniendo un valor, aunque sea pequeñitisisisimo.

 
At 17 November, 2010 16:48 , Blogger Efe Morningstar said...

Spidi, en realidad es todo muy mono, pero en Goe no me pega nada de nada. Seguro que se ha dado a la ingesta masiva de ibuprofenos otra vez.

Inés, muy mal. A mí el análisis siempre se me ha dado bien. Es en lo que mejores resultados obtuve en la carrera. Era lo más mono.

Gallinica, los monitos son esenciales. Las matemáticas son sólo una excusa para hacerlos, en realidad. Muy bien.

Cattz, no sé, es que como hago las cosas en varios folios y sin plantilla puuuesssss... Salen como salen, sin más. Y claro que mi letra es preciosa.

¡Como yo!

Bimbo, no te dejes engañar por lo anecdótico. Si haces una lista con el millón de personas que más dinero ha conseguido ganar partiendo de cero, ¿cuántos descerebrados como Belén crees que encontrarás?

Tontos hay poquísimos, pero es que resaltan más.

Javi, efectivamente, como adelantaba Inés, he hecho sendos desarrollos en potencias muy disimuladamente... Y sin usar derivadas para nada. Me merezco un gallifante.

Anónimo, es lo que explica Javi: infinitamente pequeño no es lo mismo que cero. Cuando se hacen este tipo de aproximaciones se tiene mucho cuidado de hasta qué punto se puede llegar. Cuando uno hace sumas, una x perdida no afecta mucho... Salvo que haya infinitos sumandos, por ejemplo.

Y es que sumar infinitos ceros da cero, pero sumar infinitos infinitésimos puede dar cualquier cosa.

En cualquier caso, cuando se aproxima una función por un término sin ninguna x eso se llama "aproximaciones de orden cero", si se retiene algún termino con x, "aproximaciones de orden uno", si hay términos con x al cuadrado, "aproximaciones de orden dos", etc. Mayor precisión implica mayor tiempo de cálculo y mayor engorro, es cuestión de saber si va a merecer la pena hacer una cosa u otra.

 
At 17 November, 2010 16:57 , Anonymous Anonymous said...

Bueno, entonces voy a tener que demandar a la mitad de los profesores de mi carrera por atentar contra la precisión de los cálculos.

 
At 17 November, 2010 16:58 , Blogger breadbimbo said...

Si ya lo se Efe, pero es que se está muy solo aquí arriba, mirando al resto de la humanidad desde la superioridad intelectual...

Voy a hacer como Zeus y a descender de manera periódica (puro o mixto todavía no lo he decidido) a mezclarme con los simples mortales (con las mismas intenciones que él, of course).

 
At 17 November, 2010 17:44 , Blogger Goethita said...

Son las matematicas que me vuelven loca, me encantan porque todo encaja... Y una cosa te lleva a la otra, y entonces te das cuenta de que la anterior funciona porque funciona la siguiente y asi sucesivamente.... o algo...

Efe, miedo me da pensar como crees que soy... Soy un misterio, una incognita, un interrogante....

Spidi, no disimules!!! a ti tambien te chiflan!!!

 
At 17 November, 2010 19:07 , Blogger LaNiña said...

El post está muy bien, pero acabo de estar hora y media con ecuaciones exponenciales y logarítimicas y he acabado un poco harta de las mates por hoy ¬¬' . Con su permiso... Have a nice day!

 
At 17 November, 2010 19:50 , Blogger molinos said...

¿Me has escrito un post??? ¿ Para iluminar mi iniciación en las matemáticas??

Los dibujos son preciosos...pero...si es para mí...¿ por qué no hay árboles?

El texto lo miro otro día qúe seguro que es interesántisimo y vital para mi futuro.

 
At 17 November, 2010 20:34 , Anonymous Webber said...

Gran post!
Me gusta todo excepto el uso de la palabra "infinitamente", creo que no es necesaria (ni si quiera contingente) al nivel que explicas las cosas y lo unico que hace es liar (como hiciera con cienes y cienes de matematicos hasta Newton/Leibniz).

Eso si, si consigues que un solo nigno, concepto amplio que incluye ambos sexos, haga raiz sin solo a base de sumas y restas tendras asegurado un sitio centrado en el cine del cielo de las matematicas.

 
At 17 November, 2010 20:46 , Blogger Pal said...

No voy a fingir que me lo he leído. Esto... cómo te va?

 
At 17 November, 2010 20:48 , Blogger ca_in said...

Uooh... Un koko-hormiga.

Y después efe nos llama frikis a los demás.

 
At 17 November, 2010 21:33 , Blogger Efe Morningstar said...

Anónimo, ¿y qué carrera era la tuya?

Caín, menos mal, creí que nadie pillaría el momentazo friki.

Pal, no seas perraca y léelo. Maldición, a la que me descuido me crecen los mesetarios.

Webber, "infinitamente" significa "tan pequeñísimo como seamos de imaginar sin que nos dé una embolia". Yo creo que es un concepto muy intuitivo... De hecho hasta Cauchy, que se dedicó a formalizar todo en plan brasas, no era demasiado preciso. Newton y Leibniz usaban básicamente la misma definición que he puesto yo arriba, hombre.

Moli, enséñale el post a tu ingeniero y deja ya de quejarte, mártir, que eres una mártir.

Bimbopán, tu humilde plan de zumbarte a todas las niñas que consigas deslumbrar con tu encanto jamás se me había ocurrido antes. Afortunadamente poseo una máquina del tiempo, así que desde mañana mismo te lo copio, viajo al pasado y me aconsejo ponerlo en práctica desde hace años.

Niña, más quejas, sois lo peor. Si te atascas con esas cosas ya sabes a quién puedes preguntarle. (*)

Goethita, sipe, las mates molan porque son autoconsistentes y superchupis. Pero vamos, las demás cosas también, pasa que te falta rodaje y seguir mi Cursillo Avanzado De Antropología Aplicada y mi Omnibus Cutest Tutorial.

(*) A Zor.

 
At 17 November, 2010 21:35 , Blogger Inés said...

¿Omnibus cutest tutorial? Y eso, ¿dónde está? Juas.

 
At 17 November, 2010 21:57 , Anonymous Webber said...

Sactamente, me referia que dicho concepto incluso liaba a newton/leibniz, menos mal que llego papa weierstrass y puso las cosas en su sitio.

A mi no me parece tan intuitivo, y al anonimo ese con estudios que hay arriba me remito!

Lo chungo de este post es que tendre que recomendarlo a estudiantes de primero, de ciencias, y no es broma.

 
At 17 November, 2010 22:18 , Anonymous Anonymous said...

Mi carrera es una de tantas de calculitos y cifritas. Pero ese tipo de aproximaciones se hacen a cascoporro, al menos con papel y lápiz a nivel de alumnos. Tal vez luego para cosas serias ya no se hagan, que para eso están los ordenadores.

 
At 17 November, 2010 22:18 , Anonymous Anonymous said...

Mi carrera es una de tantas de calculitos y cifritas. Pero ese tipo de aproximaciones se hacen a cascoporro, al menos con papel y lápiz a nivel de alumnos. Tal vez luego para cosas serias ya no se hagan, que para eso están los ordenadores.

 
At 17 November, 2010 22:28 , Blogger Efe Morningstar said...

Inés, pues está en alguna parte... Seguro que lo he escrito y lo he perdido, o que no lo he escrito aún, quién sabe.

Webber, tus estudiantes son como los míos pero con más barba, ¿no?

Anónimo, no permitas que te engañen los dibujitos, lo que he hecho de forma encubierta es un desarrollo de Taylor de orden uno sin usar derivadas. Esos desarrollos se usan continuamente, tanto en análisis matemático como en ciencias aplicadas, especialmente en física.

Es algo muy MUY serio. Y potente.

Los ejemplos con números son sólo curiosidades y las pongo con ánimo didáctico. Para cualquiera que haya estudiado un curso de análisis medio debería ser obvio.

 
At 17 November, 2010 22:47 , Anonymous Anonymous said...

¿Quieres ejemplos?
Ejemplo: supón constantes k1 y k2, donde k1>>k2, entonces e^(-k1*t) - e^(-k2*t) se aproxima a - e^(-k2*t). Y k2 - k1 es -k1. Así se obtiene la ecuación cinética de primer orden, por ejemplo. Y esto es teoría.

 
At 17 November, 2010 22:56 , Blogger Efe Morningstar said...

Anónimo, un ejemplo donde puedas prescindir del término menor no implica que puedas hacerlo siempre. Tendrías que demostrar que puedes hacerlo siempre.

Y no puedes.

Que es justo lo que estamos diciéndote todos.

 
At 17 November, 2010 23:00 , Anonymous Anonymous said...

No me vale la contestación pero da igual, no te preocupes.
Un saludo

 
At 17 November, 2010 23:08 , Blogger Efe Morningstar said...

Anónimo, te lo explicaré de nuevo. Tranquilo, no me preocupo.

Yo digo que no puedes prescindir siempre de los infinitésimos, sólo en ciertos casos. Quizás sea en los casos que más te sueles encontrar, pero no es en todos.

Tú dices que te los puedes cargar siempre.

Pues bien, a mí me basta darte un ejemplo en que no se pueda para demostrarte que estás equivocado.

Tú, sin embargo, para demostrar que tienes razón tienes que probar que puedes despreciar los infinitésimos siempre. No te vale con un ejemplo.

Es una cuestión de lógica, nada más.

Y ahora, para que no te quepa duda te pongo un ejemplo en el cual no puedas prescindir de los infinitésimos.

Ya te he dicho antes que una suma infinita de infinitésimos puede dar cualquier cosa. Puede ser un número tan pequeño como se quiera, un valor finito o puede ser un número infinitamente grande. Un ejemplo típico es tomar el límite cuando N se hace infinito de N sumandos cada uno de los cuales es 1/N.

Aunque cada sumando es despreciable la suma resulta ser uno. Sin embargo, si tú prescindieras de cada uno de ellos (que según tú es algo que siempre puedes hacer) la suma daría cero, lo que es diractamente un disparate.

No hay más. Simplemente estás equivocado.

 
At 17 November, 2010 23:19 , Anonymous Anonymous said...

Yo no he dicho que lleve razón, sr EFE, asumo que no tengo ni idea de matemáticas ni la tenemos la mayoría de los de mi carrera.

Soy un cerdito feliz, rosado y saludable. Lo que cuentas suena bien pero no me entero. En cualquier caso te agradezco el esfuerzo.

 
At 17 November, 2010 23:25 , Blogger Efe Morningstar said...

No te preocupes, no me cuesta ningún esfuerzo. En cualquier caso, ya te digo, no es solo una cuestión de matemáticas.

 
At 17 November, 2010 23:35 , Anonymous Anonymous said...

Pensaba que toda la lógica era matemática, en particular esta que estás aplicando.

 
At 17 November, 2010 23:42 , Blogger Efe Morningstar said...

La lógica puede ser formulada en términos matemáticos, pero no es necesario.

Ahora bien, si quieres que explique el razonamiento anterior con, por ejemplo, diagramas de Venn... Mejor otro día.

 
At 17 November, 2010 23:50 , Blogger Er-Murazor said...

>>>Un ejemplo típico es tomar el límite cuando N se hace infinito de N sumandos cada uno de los cuales es 1/N.

>>>Aunque cada sumando es despreciable la suma resulta ser uno.

Es más divertido todavía que un simple uno. La serie armónica es divergente. La suma 1+1/2+1/3+1/4+... da infinito. El ejemplo que tú buscabas son infinitos sumandos cada uno de los cuales es 1/2^N, creo. Ese sí da uno. Y ahí sí que los sumandos son despreciables.

Ale, me voy a seguir viendo capítulos ochenteros de Doctor Who

 
At 17 November, 2010 23:58 , Anonymous Anonymous said...

Sí, por favor, explica cuando quieras.

El problema que tenemos aquí es de comunicación (por el medio escrito) y de confianza (básicamente no te conozco como para exprimirte cual naranja). Si no, puede que nos entendiéramos mejor. Puede.

Básicamente no entiendo por qué no consideras "siempre" una situación concreta que se da empíricamente (alta presión, baja temperatura, etc), para que exista esa relación entre constantes y que no era ese ejemplo en concreto (el de la deducción de la ecuación de primer orden) pero tengo otros con aproximaciones parecidas.

Es complicado explicarse por este medio, como te decía...

 
At 18 November, 2010 00:04 , Blogger Efe Morningstar said...

Zor, ese ejemplo también vale, pero el que yo quería era más sencillo aún, era simplemente sumar N veces 1/N. Soy así de vago.

Anónimo, vuelta a lo de antes. Puedes despreciar infinitésimos a veces, no siempre. Vale con el un contraejemplo, el de Zor mismo.

Y ya.

 
At 18 November, 2010 00:05 , Blogger Inés said...

Anónimo, a ver...

Digamos que lo que tú dices es más o menos, como decir que π=3. Podríamos decir que es una aproximación de orden cero.

Algo más preciso es decir que π=31/10. Por así decirlo, aproximación de orden uno.

Habrá veces en que la aproximación de orden cero te sirva, pero no siempre. Y ahí es cuando entran en juego en serio los desarrollos de Taylor.

Por ejemplo, en lo que tú decías:

Si k1>>k2, se comete mucho menos error al aproximar exp(-k1*t)-exp(-k2*t) por exp(-k2*t) que al aproximar k1-k2 por k1. Y si desarrollas las exponenciales en serie de Taylor, verás por qué.

 
At 18 November, 2010 00:08 , Anonymous Anonymous said...

Sigo sin enterarme pero es igual.

Gracias por todo. Un saludo.

 
At 18 November, 2010 00:18 , Anonymous Anonymous said...

Una cosa sí te digo, deberías de explicarte con menos orgullo, porque da miedo preguntarte.

 
At 18 November, 2010 00:22 , Blogger Efe Morningstar said...

Inés, mujer, si es que es más sencillo que todo eso. Para probar que algo ocurre alguna vez basta con un ejemplo. Para probar que algo ocurre siempre un ejemplo no basta. Ni un millón tampoco.

Anónimo, antes al contrario, estoy súper orgulloso de no haberte tirado nada a la cabeza. Mañana me voy de compras de premio.

 
At 18 November, 2010 00:24 , Blogger Inés said...

Ya lo sé, ya lo sé. Pero quería tratar de explicar lo del orden de la aproximación. Pero creo que hubiese estado mejor calladita, que tú estabas llevando la clase magistral, magistralmente (valga la redundancia).

 

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